scgrj@123 中国数学会第十一届全国数学文化论坛于2022年7月29日至8月1日在河南大学成功举办。中国数学会监事会主席袁亚翔院士作会议报告《浅谈关于黄金分割”。 以下为报告实录。
今天我只讲一个数学文化的小例子——黄金分割。 黄金分割是我在中学时接触到的一个非常基础的知识。
一
黄金分割的历史
黄金分割比在《几何原理》中被称为中尾比，它的定义如下：当一条线段被分成两段时，整条线段与较长线段的比值等于较长线段与较短线段的比率。 欧几里得运用几何作图方法将线段划分为中尾比例。
（一）
《几何原本》中的中决赛比例
第 6 章命题 30：将给定的线段（AB）分为中间和最后的比例。
在没有无理数概念的情况下，欧几里得利用许多引理通过几何方法得到了中期比率。 给定一条线段AB，如何将给定的线段（AB）分为中间比例和最终比例？ 欧几里得的方法是：画一个以AB为边的正方形ABHC，在AB上找到一点E，使得AE为边长，正方形的面积等于边长为EB的四边形EBHF。
如何使用几何绘图方法找到具有此性质的E？ 欧几里得需要使用书中的其他引理。 中期比率有许多神奇的特性。 《几何原理》中关于这个中期比率的命题有大量，否则欧几里得也不会具体定义这个比率。
第十三章 命题一：如果一条线段被分成中段和末段，那么长线段加上全线段的一半之和就是边长等于一半长度的正方形面积的5倍整个段。
现在我们可以利用中期比率的精确值简单地推导出这个结果，但当时欧几里得并不知道中期比率的具体值。
第十三章命题八：边等角的正五边形，它的两个角依次用线段连接。 连接线将采用中间比例，长线段将等于五边形的边。
第十三章 命题9：同圆内接正六边形的边长与同圆内接正十边形的边长之比为中项比。
第13章命题17：求给定球体的内切十二面体，并证明十二面体的各边是称为余线的无理线段。
推论：当立方体的一条边被分成中、小比例时，长线段就是十二面体的边长。
利用几何绘图方法可以得到许多这样的几何图形。 《几何原理》中的上述命题都与中尾比例有关。
（二）
钦佩中后期比例
16世纪意大利著名数学家帕乔利所著的《神圣比例》一书谈到了中小比例的比例。 本书插图的作者是列奥纳多·达·芬奇。
有许多数学家强烈推荐中摩尔比。 牛顿被许多人认为是有史以来最伟大的数学家，他在开普勒三定律的基础上提出了三定律。 所以，毫无疑问，开普勒也是一位伟大的科学家。 开普勒非常欣赏中电机比。 他说：几何中有两件宝藏：一是毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），二是中动比。 前者可比黄金，后者堪称玉石。 由此可见中期比率在几何中的重要性。
（三）
黄金分割名称的由来
“黄金分割”这个名字并不是开普勒提出的。 它是由一位名叫欧姆的数学家命名的。 他非常欣赏中间到最后的比例，觉得这个比例太美了，就将它命名为中间到最后的比例。 一个美丽的名字被赋予了——黄金分割（goldener Schnitt），其中“金”是形容词，意思是“像金子一样”，“部分”是名词。 “黄金分割”翻译成中文应该是“黄金般的比例（分割）”。 之所以以“金色”来命名，是因为欧洲文艺复兴时期，人们喜欢用“如金子”来形容事物的美丽。 。 所以“黄金分割”的含义应该是“非常美丽的比例”。
（四）
中尾比例和黄金分割
国际上，黄金分割通常指的是中间到最后的比例。 在我国，由于历史原因，中端比的倒数更多地被称为黄金分割，它与中端比相差1，即去掉小数点前面的1中端比例。
中尾比：
（黄金分割）黄金分割比：
二
有趣的公式
（一）
有趣的中期比率公式：无限激进公式
关于中期比率有许多有趣的公式。 首先，将其自身加 1，然后求平方根。 它仍然是它自己。 继续给自己加上1，然后开平方，仍然是自己。 可以继续递归，即如下公式：
（二）
有趣的黄金分割公式：连分数
同理，还有以下形式的连分数：
三
黄金分割的应用
（一）
黄金分割与建筑
1.古埃及胡夫金字塔
胡夫大金字塔斜坡的中心线长度为611.75英尺，斜坡的下半部分为378英尺。 这两者的除法是611.75/378≈1.618，这正是中端比例。 你可能会认为这是巧合，但巧合一般都不会精确到小数点后四位、千分之一或千分之一，所以架构师必须知道这个中间比例。
2.雅典帕台农神庙
雅典帕台农神庙宽约31米，高约19米。 高宽比基本上非常接近19/31≈0.613的黄金比例，雅典有大量的帕台农神庙。 黄金比例。 可见古希腊的建筑师一定是数学家。
3、巴黎圣母院、印度泰姬陵、北京电视塔、上海东方明珠塔
巴黎圣母院是法国巴黎的著名建筑，一、二层、二、三层的比例为中低。 印度泰姬陵、北京电视塔（238/386.5≈0.616）、上海东方明珠电视塔（289.2/468≈0.618）的一些布局都具有黄金比例。
（二）
黄金分割与绘画
达芬奇和黄金分割
著名画家达芬奇也是一位数学家。 《维特鲁威人》的手稿中有很多满足黄金比例的线段。
名画《蒙娜丽莎》中有很多黄金比例； 《最后的晚餐》这幅画的布局以及画中建筑背景的划分都采用了黄金比例。
米开朗基罗和黄金分割
著名画家米开朗基罗在《创世纪》的布局中也运用了黄金比例。
修拉与黄金分割
印象派画家修拉的《阿内尔浴场》中，整个画面的布局、海岸线的高度、人物的位置都遵循黄金比例。
（三）
黄金分割与雕塑
被誉为世界上最美的雕塑——维纳斯，她的脚到肚脐的高度符合整个雕塑高度的黄金比例。 同样涉及黄金比例的雕塑包括“大卫”、“多里弗鲁斯”和“宙斯”。
（四）
黄金分割与音乐
在音乐方面，贝多芬第五交响曲第一乐章按主题部分和再现部分分为两部分。 前主题部分有377个音节，后重述部分有233个音节。 233/377≈0.618，所以贝多芬在布局第一乐章的两个部分时，完全选择了满足黄金比例。
将莫扎特《第一钢琴奏鸣曲》第一乐章分为两部分：前面的主题部分和后面的重奏部分。 前主题部分为62小节，随后的再现部分为38小节。 这两部分的比例是0.613，这也是黄金比例。
J. Ryden在《莫扎特和海顿钢琴奏鸣曲中黄金比例的统计分析》一文中，对所有奏鸣曲（莫扎特、海顿）进行了统计，并画了一条0.618斜率线，发现第一乐章的音节比例基本落在这条直线附近，即这两段的比例基本接近0.618。 可以看出，这个比例对于音乐家写乐章来说是最舒服的。
黄金分割也存在于乐器上。 著名的Lady Blunt小提琴（1721）是由18世纪小提琴制作大师安东尼奥·斯特拉迪瓦里（Antonio Stradivari）制作的。 这把小提琴之所以被命名为Lady Blunt，是因为Lady Blunt（她是拜伦的孙女的女儿）收藏了这把琴30年。 这把小提琴在2011年的拍卖会上拍出了1000万英镑的价格。这把小提琴不仅音质好，而且其外形设计的有趣之处在于它的很多部分都符合黄金比例。
（五）
黄金分割与自然
黄金分割在自然界中也很丰富。 奥黛丽·赫本脸部各部分的比例符合黄金比例。 可见，不仅达芬奇画中的美女“蒙娜丽莎”拥有黄金比例，现实生活中也有大家公认的美女“奥黛丽·赫本”。 赫本的长相也符合这个比例。
自然界中的蜗牛和玫瑰花的出现也符合黄金比例。
向日葵上的螺旋数是顺时针34个，逆时针55个，34/55≈0.618。 同一个松果上有8条螺旋线，顺时针数，倒数，变成13条，也接近黄金比例。 是不是很神奇呢？
黄金比例在自然界中也存在，比如树枝、树叶，甚至蝴蝶、鹦鹉等很多符合黄金比例的地方。
（六）
黄金分割与科学
在科学中，黄金分割也被广泛使用。 当前疫情下的核酸检测，基本采用混合检测。 事实上，对于混合检测，美国在上世纪招募士兵时就采用了血液检测的混合检测方法。 数学家可以证明，当负样本比例大于黄金分割率（61.8%）时，混合检测方法比逐一检测方法效果更好，可以节省人力、物力。
Lionel Penrose 和 Roger Penrose 构建的几何铺路的边长（如下图）实际上满足黄金比例。
在量子力学和物理学的其他相关学科中，许多常数，甚至在黑洞理论的一些研究中，实际上都与黄金分割有关。
在化学中，液晶的结构满足黄金比例。
在生物学中，DNA序列的螺旋结构也符合黄金比例。
（七）
黄金分割和斐波那契数列
事实上，黄金比例经常出现在许多科学领域。 与黄金比例密切相关的是斐波那契数列。 斐波那契在1202年出版的《算盘书》一书中介绍了兔子的繁殖问题。
假设每对兔子出生两个月后，每个月都会产下一对兔子。 从一对兔子开始，一年后会有多少对？
斐波那契数列：
有许多数学机构喜欢在墙上绘制、印刷或雕刻斐波那契数列。 我附上了两张照片。 第一张照片是北欧一座建筑的外墙。 设计师用两种颜色标记了斐波那契数列。 在波那契数列中，较深的颜色代表已经过去的斐波那契年。 上一个斐波那契年是 1597 年，下一个斐波那契年是 2584 年。
斐波那契数列有许多有趣的公式：
斐波那契数列还与二项式展开系数有关，在我国常被称为“杨惠三角”。二项式(a+b)n展开系数
斐波那契数列不仅具有一些基本性质，还具有一些与数论相关的更高级的性质，如下所示：
斐波那契数列和黄金分割
斐波那契数列与黄金分割密切相关。 相邻两个斐波那契数之比的极限正是黄金分割。
（八）
人生黄金分割
你还可以看到很多生活中的黄金分割点，比如建筑、摄影、穿高跟鞋的女孩、韩国服装设计、芭蕾舞等等。
斐波那契数列的巧妙运用
使用斐波那契数列在英里和公里之间快速转换：
聪明记忆0.618
6 月 18 日出生的名人或您认识的人。
中国共产党第六次全国代表大会（1928.06.18，莫斯科）
（九）
黄金分割
中国著名数学家华罗庚先生的《最优化方法》一书第一章介绍了黄金分割法和分数法。 20世纪60年代，华罗庚先生在全国大力推广优化方法。
华罗庚先生说，优化方法其实就是如何找到单值函数的最大值点。 一种方法是首先选择两个点0.3和0.7。 如果0.7这个点比较高，我们可以逻辑推论0到0.3之间的范围内不存在最高点（可以通过反证法证明），即：
f(x) 连续、单峰（仅最大点）
只需将[0,1]上的问题转换为[0.3,1.0]上的问题即可。
对于一般区间 [a,b]，假设 c < d ∈ [a,b]，比较 f(c) 和 f(d)，我们有
通过不断减小包含解的区间，可以得到任意精度的近似解。
存在一个如何选择c和d的问题。 我们希望剩余的区间尽可能短（最坏情况下的最好），即max{bc,da}达到最小值，所以c ≈ d = (a + b)/2，也就是两个点二分法。 问题来了，通过复用和二分法，是否可以计算出最小函数值？
我们来看一个重用二分法的例子（4个函数计算）：
我们还可以使用另一种4点的方法：
显然可以发现，重复使用一半并不是最好的！
我们来看一下多点综合选拔：
1）三点：先取c=1/3，d=2/3
删除一段后，间隔缩小为[0, 1/3, 2/3]
在1/3附近加一点点可以将区间缩小到[0, 1/3]；
2）四点：去掉一节，变成三点。
所以取c=2/5，d=3/5。
如果允许计算第k个函数值（斐波那契数列），则c和d的最优选择为：
最终的区间长度是原始区间的长度
，所以根据黄金分割法（0.618法），c =1−Φ ≈ 0.382，d = Φ ≈ 0.618。
经过k次函数值计算后，区间长度为初始值
可以证明黄金分割法是最优的固定划分方法！
黄金分割法给我们的启示是：美丽的东西往往是有用的，有用的东西通常也是美丽的。 解决问题很重要，用好的方法解决问题更重要。 谢谢你们！
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